مفهوم سرعت در سیالات

منظور از میدان سرعت یک سیال چیست؟ 

آیا همان تصوری که از سرعت ذرات و اجسام صلب داریم، به مکانیک سیالات قابل تعمیم است؟

بیائید نگاهی مجدد به این ترکیب بیندازیم: "میدان سرعت سیال" که متشکل از سه مفهوم میدان، سرعت و سیال می باشد. ابتدا هریک از این واژه ها را به تنهایی تعریف می کنیم و در انتها ترکیب آنها را که هدف اصلی ما در این مقاله می باشد مورد بررسی قرار می دهیم. 

"میدان"، طبق تعریف، توزیع پیوسته ای از یک کمیت اسکالر، برداری و یا تانسوری است که با توابع پیوسته ای از مختصات فضا و زمان بیان شود. 

برای نمونه می توان بیان نمود. یک میدان برداری، مانند( T(x, y, z, t دمای تمام نقاط یک جسم را در هر لحظه با میدان اسکالرنشان داد. در مکانیک سیالات یک محیط پیوسته،( V(x, y, z, tمیدان سرعت را می توان بصورت ریاضی کمیاتی مانند چگالی، دما، انرژی داخلی و آزاد، انتروپی، سرعت، تنش و . . . به سیال نسبت داده می شوند. فرض می شود که این کمیات، توابع پیوسته و همواری(مشتق پذیری) از متغیرهای فضایی و در گذر زمان می باشند.

یعنی این کمیات میدان ها هستند. از طرف دیگر فرض پیوستگی برای این توابع به همراه فرض هموار بودن به این معناست که تابع مورد نظر به تعداد بارهای دلخواه (معمولاً از نگاه کاربردی 2 تا 3 بار کافی است) برحسب تمام متغیرهای مستقل ( 3 متغیر فضایی و 1 متغیر زمان در کلی ترین حالت) قابل مشتق گیری است.

چون دانش مکانیک سیالات با کمیات توزیع شده سروکار دارد، در آن فرصت های زیادی برای استفاده سودمندانه از روش میدان وجود دارد. علاوه براین، میدان های اسکالر، برداری و تانسوری در مطالعۀ جنبه های گوناگون پدیده های سیالات ظاهر می شوند.

تا اینجا اولین واژه از ترکیب فوق را شناختیم. حالا نوبت دومین واژه یعنی "سرعت" و پس از آن سیال می باشد. در دینامیک تحلیلی ذرات آموختیم که چگونه کمیتی به نام سرعت را با مشتق گیری از تغییر مکان یک ذره متحرک نسبت به زمان، به آن ذره نسبت دهیم. همچنین به اجسام صلب علاوه بر سرعت خطی یا همان مشتق تغییر مکان ذره نسبت به زمان، یک سرعت زاویه ای (دورانی) نسبت داده می شود که به عنوان مشتق زمانی تغییر زاویۀ جسم در فضا تعریف می گردد. آیا منظور از سرعت در یک سیال، یا به عبارت دیگر سرعت یکپیوستار سیالی هم می تواند چنین باشد؟

همان طور که می دانید از دینامیک سیالات به عنوان دینامیک محیط پیوسته دارای تغییر فرم یاد می شود. در دینامیک کلاسیک ذرات و اجسام صلب، معادلات برای ذرات نوشته می شدند. اما در دینامیک سیالات،معادلات بیلان برای المان های سیال نوشته میشوند. به یک المان کوچک از سیال، یک ذرة هیدرودینامیکی و یایک ذره محیط پیوسته گفته می شود. می توان یک سیال را به تعداد بسیار زیادی المان تبدیل کرد و برای هرالمان تعدادی درجۀ آزادی در نظر گرفته و معادلات بیلان را برای آن نوشته و حل کرد. آیا به راستی هیچ گونه محدودیتی در تعریف المان به عنوان ذرة معرف سیال وجود ندارد و حتی اگر دوست داشتیم می توانیم یک مولکول را هم به عنوان یک المان در نظر بگیریم؟ 

آیا منظور از سرعت ماکروسکوپیک (= میدان سرعت در تئوری مکانیک محیط پیوسته) همین سرعتی است که به تک تک مولکول های المان نسبت داده می شود یا سرعتی است که به المان سیال نسبت داده می شود یا چیز دیگریست؟ یا مثلاً می توان به نوعی دیگر رفتار کرد و کل

سیال مورد بررسی را به عنوان یک المان در نظر گرفت؟ آیا با انتخاب هریک از این دو نوع نگاه، یک میزان سرعت برای سیال بدست می آید یا اینکه تعریف سرعت سیال کاملاً بستگی دارد به اینکه کدام یک از این دو نوعنگاه را برگزینیم؟

در پاسخ باید گفت که یک سیال از تعداد بسیار زیادی ذرات میکروسکوپیک که مولکول ها یا اتم های آن سیال (مثلاً برای آب مولکول های آب و برای هلیم اتمهای هلیم) هستند، تشکیل شده است. به هر ذره میکروسکوپی دقیقاً همانند دینامیک کلاسیک ذرات م یتوان یک سرعت نسبت داد. ولی منظور از ذره هیدرودینامیکی یک ذره میکروسکوپی کوچک نیست. یک ذرة هیدرودینامیکی، یک المان کوچک از سیال می باشد. این ذره با ذراتی که در مکانیک کلاسیک پیش می آیند کاملاً متفاوت است. در مورد المان سیال دو بحث مطرح است. اولین بحث که در بالا به آن اشاره شد حاکی از اینست که هرچند المان سیال مفهومی تصوریاست اما هر اندازه ای نمی تواند داشته باشد و در کران بالا و پایین خود دارای محدودیت می باشد. کران بالای این المان سیال باید آنقدر کوچک باشد که بتوان از این المان در محاسبات دیفرانسیلی استفاده کرد و از طرف دیگر در کران پایین، المان باید به قدری بزرگ باشد که با افزایش و یا کاهش تعدادی از ذرات که کسر قابل ملاحظه ای از تعداد کل ذرات نباشند، نتایج بدست آمده در مورد آن دستخوش تغییرات چندانی نشود. 

بحث دومی که در مورد المان سیال مطرح است اینست که المان سیال مجموعه ای از ذرات ریز است که گرچه همانند آنچه در دینامیک گازهای بسیار رقیق پیش می آید (مثلاً در مسائل مربوط به سفینه ها در حاشیۀ خارجی اتمسفر)، آزادی عمل کامل ندارند ولی ارتباط آنها مانند ارتباط میان ذرات تشکیل دهندة یک جسم صلب هم مستحکم نیست و اینجا کار کمی مشکل می گردد. این ریز ذرات تا چه حدی آزادی عمل دارند؟ 

پاسخ بستگی شدیدی به نوع سیال و ترمومکانیکی که تجربه می کند دارد. در ادامه دوباره به این پرسش مهم بر می گردیم و به آن پاسخ خواهیم داد.اما در مورد سرعت، باید قائل به دو مفهوم مجزا باشیم:

1. مفهوم سینماتیکی که بطور کلاسیک با آن آشنا هستیم و به عنوان مشتق زمانی تغییر مکان و یا تغییر زاویه تعریف می شود که کاربرد این تعریف در دینامیک اجسام صلب و ذرات می باشد.

2. مفهوم دینامیکی (سینتیکی) که سرعت در آن به عنوان ممنتوم (ایمپالس) مخصوص (ممنتوم برواحد جرم) تعریف می گردد. البته در حالت کلی این امکان وجود دارد که برای شتاب هم تعریف

دینامیکی نیرویی که ناظر لخت مشاهده می کند بر واحد جرم را پیش کشید.

تا اینجا مفاهیم میدان، سیال و سرعت توضیح داده شد و مبنا بر این بود که پس از بررسی تک تک واژه ها به تعریف ترکیب این واژ هها بپردازیم. حال با این اوصاف ببینیم که چگونه میدان سرعت یک سیال تعریف می شود. برای تعریف سرعت ماکروسکوپی سیال از مفهوم دینامیکی سرعت استفاده می کنیم نه مفهوم سینماتیکی آن که این یکی از اساسی ترین تفاوت های سینماتیک سیالات با سینماتیک ذرات و اجسام صلب است. بنابراین برای اندازه گیری سرعت در یک المان سیال نیاز داریم که ممنتوم تک تک ذرات و نیز جرم کل المان را بدانیم. برای اینکه ببینید چگونه میدان سرعت یک سیال تعریف میشود فرض کنید که یک ذره می باشد. بنابراین mk ام دارای جرم لختی k ذره بوده و نیز ذرة n هیدرودینامیکی (همان المان سیال) شاملmkvk ممنتومی که توسط هر ذرة هیدرودینامیکی (المان سیال) و به دلیل حرکتش حمل می شود، برابر است باام است. کل ممنتومی که توسط المان سیال حمل می شود، برابر است با k بردار سرعت ذرة vk که در آنnkkk1m= å

از آنجا که می خواهیم از این سرعت در معادلات حاکم بر حرکت المان سیال و کل سیال استفاده vکرده و مثلاً در بررسی های نیرویی که در حالت سیالات نیوتنی به معادلات ناویر- استوکس منجر می شد برسیم،خواسته می شود که سرعت نسبت داده شده به المان سیال به اندازه و در جهتی باشد که میزان کل ممنتوم

جرم کل المان و برابر با m که در آن mv تغییر نکند. ممنتوم المان سیال عبارتست ازnkk 1m= åv است وسرعتی است که به المان سیال نسبت داده می شود. بنابراین داریمnn n k kk 1k k k nk1k 1kk 1mm m m .m== ==æ ö=ç ÷ = Þ =è øåå ååvv v v v (1)

اکنون اندازه و جهت بردار سرعت نسبت داده شده به المان را می دانیم اما این اطلاعات برای تعریف میدان سرعت کافی نیستند. در تئوری میدان ها، سرعت برای یک نقطه از فضای اقلیدسی تعریف می شود، حال اینکه مایک المان که ناحیه ای از فضای اقلیدسی را اشغال کرده است، در نظر گرفتیم. مسأله ای که در اینجا با آن مواجه می شویم این است که میزان و جهت بردار سرعت را می دانیم، اما نمی دانیم این بردار سرعت به چه نقط های تعلق داشته و به آن نسبت داده می شود؟ 

پاسخ این مسأله چندان هم مشکل نیست؛ سرعت به مرکز جرم المان نسبت

داده می شود. پس ما یک مقدار متوسط سینماتیکی در یک ناحیه از فضای اقلیدسی تشکیل داده و آن را بهعنوان سرعت ماکروسکوپیک سیال در نقطه ای که مرکز جرم این المان است در نظر می گیریم. این مفهوم بیانگر(Averaging Scheme) مهمترین ایدة مکانیک محیط های پیوسته است که همان طرح میانگین گیری می باشد. این نوع متوسط گیری با مقادیری که ابزارهای اندازه گیری به دست می دهند قابل مقایسه بوده وهمخوانی دارد؛ مثلاً وقتی یک دماسنج را در مکانی از سیال قرار می دهیم و دمای آن مکان را خوانده، به عنوان دمای آن نقطه گزارش می کنیم، باز هم چنین متوسطی را خوانده ایم. زیرا سر دماسنج یک نقطه نبوده بلکهدارای اندازة محدودی است و دمایی که در اختیار می گذارد در واقع معدل دما در ناحیه ای از فضای اقلیدسیاست که سر دماسنج اشغال کرده است تا اینجا هدف تعریف میدان سرعت سیال بود و بر این اساس سرعت المان سیال را بر حسب سرعت ذرات سیال تعریف کردیم. از طرف دیگر گفتیم که در دینامیک اجسام صلب و ذرات به هر ذره یک میدان سرعت به مفهوم سینماتیکی آن، قابل نسبت دادن است. دوباره همان پرسش مطرح می شود که با توجه به این موضوع،برای تشریح کامل رفتار سینماتیک مجموعه ذرات سیال یا همان المان سیال چند سرعت مستقل باید به سیال نسبت داد(سرعت خطی، زاویه ای و . . .)؟

پاسخ این سؤال بستگی دارد به اینکه رابطۀ بین ذرات سیال در یک المان چگونه است یعنی همان پرسش دومی که در بالا مطرح شد در مورد اینکه ذرات تشکیل دهنده المان سیال، که ذرات میکروسکوپی تشکیل دهندة محیط پیوسته (سیال) می باشند تا چه حد به هم وابسته اند؟ پیش از این گفتیم که پاسخ این سؤال به نوع سیال و ترمومکانیکی که سیال تجربه می کند مربوط است. آنچه در واقعیت مشاهده م یکنیم این است که ذرات سیال در المان نه همانند جامدات هستند که کاملاً نسبت به هم مقید هستند و نه اینکه هیچ تأثیری بر روی هم نداشته باشند و در عمل حالتی بین اینهاست. اما آنچه در نتایج مدلسازی ریاضی این سیالات مشاهده می کنیم بر می گردد به اینکه چند درجۀ آزادی برای توصیف سینماتیک سیال در نظر بگیریم و در هر یک از تئوری های مختلف یک فرضی در نظر گرفته شده است و بر مبنای آن روابطی برای سرعت سیال بدست آمده است. مثلاً ایدة بنیادین تئوری الاستیسیته اینست که وابستگی زیادی بین ذرات وجود داشته و فرض می شود که بطور دقیق سینماتیک محیط الاستیک را توصیف u(r, t) یک میدان برداری سینماتیکی یعنی میدان جابجایی(v(r, tمی کند. در این حالت اگر فقط یک درجۀ آزادی برداری (یا سه درجۀ آزادی اسکالر) یعنی میدان سرعت را مطابق فوق در نظر بگیریم، برای توصیف حرکت و سرعت سیال کفایت می کند. به دلیل وجود وابستگ یهای شدید بین ذرات در محیط های جامد (به عنوان مثال جامدات برخلاف سیالات هندسۀ ذاتی دارند و شکل ظرفرا به خود نمی گیرند) شاید این ایده تا حد زیادی درست باشد، ولی در محیط های سیال ممکن است این ایدهدرست نباشد.

در یک سیال می توان به تعداد دلخواه مقادیر متوسط سینماتیکی مستقل تشکیل و به المان سیال نسبت داد. به زبان مکانیک محیط های پیوسته می توان سرعت های مختلف و از مراتب مختلف به تعداد دلخواه تعریف تعداد درجات m می نامند که m کرد که تابع یکدیگر نباشند. این را تئوری عمومی محیط های پیوستۀ از مرتبۀ آزادی یا تعداد میدان های سرعت برداری یا تانسوری است که به المان سیال نسبت داده می شود و در حقیقت قائل می شوند ناشی m تفاوت تئوری های مختلف در تعریف سرعت سیال هم از تفاوتی که آنها در تعریف مرتبۀ در این صورت به تئوری ،v(r, t) می گردد. اگر این تئوری محدود شود به یک درجۀ آزادی میدان برداری سرعت مکانیک سیالات کلاسیک یا مکانیک محی طهای پیوستۀ کلاسیک می رسیم. در این حالت سرعت زاویه ای تابع سرعت خطی بوده و رابطرا افزایش lign=justify>=8�ا محدود کنی�2FFONT2FFONT>m برقرار است. حال اگر میزان w = rot v  را w(r , t) به دو درجۀ آزادی برداری، یعنی علاوه بر میدان برداری سرعت خطی، میدان برداری سرعت زاویه ایهم بطور مستقل در نظر بگیریم ( 12 Cosserat به محیطی می رسیم که محیط چرخشی یا محیط ،(w ¹ rot v

نامیده می شود. با توجه به ممنتوم زاوی های که توسط المان سیال حمل می شود و با متوسط گیری از ممنتوم های زاویه ای به مفهوم دینامیکی متوسط گیری، به طریقی مشابه رابطۀ ( 1)، برآیند میدان سرعت زاوی های تک تک ذرات موجود در المان به عنوان سرعت زاویه ای المان سیال تعریف می شود. رابطۀ میدان برداری سرعت زاویه ای به قرار زیر است.

( )nk k kk 1nk k k k kk 1m,mr vr r E r r==D ´=D ×D -D Dååw(2)

که در آن صورت کسر ممنتوم زاویه ای کل المان و مخرج نیز ممان اینرسی المان است و ممنتوم زاوی های کل تقسیم بر ممان اینرسی، سرعت زاویه ای را بدست می دهد.

البته علاوه بر مرتبۀ محیط پیوسته، درجۀ مواد هم باید تعیین شود و این به بیان ساده یعنی چند 

تا گرادیان

از میدان های برداری و تانسوری سینماتیکی در توابع مواد باید در نظر گرفته شوند. در حالت عمومی برای توان

داریم n و از درجۀ m استهلاک (توان اصطکاک) یک محیط سیال از مرتبۀ3)

از طریق این توان اصطکاک، پتانسیل توان اصطکاک بدست آمده و با مشتق گیری از آن هم میدانهای تنش از مراتب مختلف به عنوان توابعی از وضعیت سینماتیکی بدست م یآیند که همان معادلات مواد محیط های آغاز شد و توسط عاطفی، Trostel متکامل است. در اینجا بحث مکانیک سیالات متکامل پیش می آید که توسط و دیگران تکامل یافت. Alexandru ،Silber

منابع و مراجع :

[1] Rudolf Trostel, Gedanken zur konstruktion mechanischer Theorien II, Technische

Universität Berlin-Forschungsberichte Nr. 7, Berlin, 1988.

[2] Amin Moosaie, A Treatise on Continuum Mechanical Modelling of Turbulence, B.Sc.

Thesis, Advised by Dr.-Ing. Atefi, Department of Mechanical Engineering, Iran University

of Science and Technology, 2005.

3] مکانیک سیالات، ایروینگ اچ.شیمز-ترجمه مهندس علیرضا انتظاری-چاپ هفتم ]

1384/5/ 4] جلسه آزمایشگاه هیدرودینامیک، مورخ 9 ]